Microcamtest

Лайфстайл портал

Взаимно простые числа, их свойства

Попарно взаимно простые

Определение 4

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Готовые работы на аналогичную тему

Курсовая работа Взаимно простые числа, их свойства 490 ₽ Реферат Взаимно простые числа, их свойства 220 ₽ Контрольная работа Взаимно простые числа, их свойства 230 ₽

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Пример 2

$8, 15$ — не простые, но взаимно простые. $6, 8, 9$ — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые. $8, 15, 49$ — попарно взаимно простые.

Как мы видим, для того, чтобы определить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно это сделать.

Видео

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

  • Разложить каждое из чисел на множители и искать общие простые множители. Если такие есть, то числа не являются взаимно простыми. Если общих множителей нет, числа можно считать взаимно простыми.
  • Делить каждое из чисел поочередно на простые множители. Этот способ проще в исполнении, так как не требует большой внимательности и сосредоточенности. Но такая проверка не подойдет для больших чисел, слишком долгой может получится проверка. Поэтому более надежным будет использовать первый вариант.

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Составные цифры

Два числа относительно друг друга будут взаимно простыми всегда. Аналогичные отношения формируются между составными цифрами. Возможно, что из пары m или n одно — составное, а другое — простое, либо две цифры составные (натуральные числа, у которых есть больше двух делителей). Чтобы подтвердить каноническое утверждение, рассматривается пара из 9 и 88. Её простота доказывается путём вычисления НОД.

Разложение 88: ±1, ±2, ±4, ±8±1, ±2, ±4, ±8. НОД (9): ±1, ±3, ±9±1, ±3, ±9. Из двух вариантов выбираются общие цифры, а из списка определяется самая большая. Из полного перечня подходит единица.

На практике часто определяется ВПЧ двух целых цифр. Алгоритм решения задач заключается в поиске НОД, его сравнении с единицей. Чтобы быстро и правильно найти пару, используется таблица, в которой есть числа, кратные одному и сами себе.

Описание нескольких групп признаков делимости (ПД) неизвестной а:

  1. ПД для 2, 4 вычисляется по последней цифре (самый маленький делитель равен двум).
  2. ПД на 3, 37 зависит от суммы цифр, из которых состоит число.
  3. Признак для 7 определяется после нахождения множителя, попарной суммы либо выполнения иных действий над цифрами а.
  4. ПД для 6, 12, 14. Основывается на иных признаках.

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Попарно простые числа — это последовательность целых чисел a 1 , a 2 , …, a k , где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Приведем пример попарно простых чисел.

  • 14, 9, 17, и −25 — попарно простые, так как пары чисел 14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и −25 представляют из себя взаимно простые числа.
Важно!

Попарно простые числа всегда взаимно простые.

При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.

Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Теги