Microcamtest

Лайфстайл портал

Определитель матрицы

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки: det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin Разложение матрицы по элементам столбца: det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=1-1321-2451321 Решение: раскладываем по 2-ой строке: А=1-1321-2451321=2×(-1)3×1-13-25131=-2×1-1345121+1×-13-25131 раскладываем по 4-му столбцу: А=1-1321-2451321=3×(-1)5×21-245321+1×(-1)7×1-121321=-3×21-245321-1×1-121321

Видео

Вычисление определителя матрицы при помощи теоремы Лапласа

Теорема Лапласа – это глубокое разложение определителя по элементам. При помощи данной теоремы можно решать матрицы не только третьего порядка, но и более высших порядков.

Напомним – минор – это определитель матрицы, который составлен методом вычёркивания – той строки и – того столбца. А алгебраическое дополнение – соответствующий минор, который берётся со знаком минус . Знаки же зависят от места элемента в определителе и определяются по схеме:

Приведём пример решения алгебраических дополнений

Приведём пример решения алгебраических дополнений по схеме:

Пример

Задача Найти алгебраические дополнения элементов определителя: Решение

Понятия алгебраического дополнения даёт возможность ещё одного способа определения определителя, который утверждается теоремой Лапласа (про распределение определителя):

Теорема

Определитель равняется сумме произведения элементов строк (столбца) на их алгебраические дополнения. Например, . – это равенство проверяется непосредственно

Заметно, как последнее выражение совпадает с выражением из правила треугольника (правила Саррюса). Давайте по теореме Лапласа разберём несколько примеров:

Пример

Задача Вычислить определитель матрицы, разложив его за элементами третьего порядка: Решение Ответ .

Теорема Бине — Коши

Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $ C_{m\times m}^{}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times m} $. Выразить $ \det C_{} $ через миноры матриц $ A_{} $ и $ B_{} $.

Т

Теорема [Бине, Коши].

$$\det C=\left\{\begin{array}{ll} 0& npu\ m>n; \\ \det A \cdot \det B& npu \ m=n; \\ \displaystyle \sum_{1\le \beta_1<\dots<\beta_m \le n } A\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & \dots & m \\ \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \end{array} \right) B\left( \begin{array}{llll} \beta_1 & \beta_2 & \dots & \beta_m \\ 1 & 2 & \dots & m \end{array} \right)& npu\ m<n. \end{array} \right. $$

Доказательство ЗДЕСЬ.

?

Показать, что для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства

a) $ \det (AB) = \det (BA)_{} $; б) $ \det (A^{n}) = (\det A)^{n} $.

И

Биографические заметки о Коши ЗДЕСЬ.

Геометрические приложения определителя

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $: $$ \left| \begin{array}{lll} 1& x & y \\ 1& x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \end{array} \right|=0 ; $$ действуя над строками, определитель можно преобразовать к виду: $$ \left| \begin{array}{ll} x_1-x & y_1-y \\ x_2 — x & y_2 -y \end{array} \right|=0 \ . $$ Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) , (x_{2},y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $: $$ \left| \begin{array}{llll} 1 & x & y & x^2+y^2 \\ 1 & x_1 & y_1 & x_1^2+y_1^2 \\ 1 & x_2 & y_2 & x_2^2+y_2^2 \\ 1 & x_3 & y_3 & x_3^2+y_3^2 \end{array} \right|=0 . $$ При условии, что все три точки лежат на одной прямой: $$ \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right|=0 $$ окружность вырождается в прямую $$ \left| \begin{array}{clll} 1 & x & y & 0 \\ 1 & x_1 & y_1 & x_1^2+y_1^2 \\ 1 & x_2 & y_2& x_2^2+y_2^2 \\ 1 & x_3 & y_3& x_3^2+y_3^2 \end{array} \right|=0 . $$

Сформулированные геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об интерполяции. Т

Теорема. Площадь треугольника с вершинами $ (x_{1},y_1) , (x_{2},y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения

$$ \frac{1}{2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| . $$

Доказательство. Доказательство. В самом деле, расстояние от точки $ P_{} $ с координатами $ (X_{},Y) $ до прямой $$ Ax+By+C=0 $$ с точностью до знака равно $$ d=\frac{AX+BY+C}{\sqrt{A^2+B^2}} \ . $$ Для треугольника $ P_1P_2P_{3} $ с вершинами $$ P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2), P_3=(x_3,y_3) $$ уравнение прямой $ P_1 P_{2} $ может быть записано в виде $$ x(y_1-y_2)+y(x_2-x_1)+(x_1y_2-x_2y_1)=0 \ . $$ Таким образом, в приведенных выше обозначениях имеем: $$ A=y_1-y_2,\ B=x_2-x_1, C=x_1y_2-x_2y_1 $$ и, следовательно, величина $$ \sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=|P_1P_2| \ , $$ т.е. равна длине стороны треугольника. Тогда расстояние от точки $ P_{3} $ до прямой $ P_{1}P_2 $ находится из уравнения $$ d\cdot |P_1P_2| = Ax_3+By_3+C=(y_1-y_2)x_3+(x_2-x_1)y_3+(x_1y_2-x_2y_1)=\left| \begin{array}{lll} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{array} \right| \ . $$ В левой части стоит выражение для удвоенной площади треугольника.

Площадь $ n- $угольника $ P_{0}P_1\dots P_{n-1} $ с вершинами $ P_0 = (x_{0},y_0) ,\dots, P_{n-1} = (x_{n-1},y_{n-1}) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-2} \left| \begin{array}{lll} 1 & x_0 & y_0 \\ 1 & x_k & y_k \\ 1 & x_{k+1} & y_{k+1} \end{array} \right| $$ при условии, что стороны не пересекаются.

Объем тетраэдра с вершинами $ (x_{1},y_1,z_1) ,(x_{2},y_2,z_2) , (x_{3},y_3,z_3) , (x_{4},y_4,z_4) $ равен абсолютной величине (модулю) выражения $$ \frac{1}{6} \left| \begin{array}{llll} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{array} \right| . $$

Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом $$ (x_1,x_2,x_3)\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =1 $$ (квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена ) равен $$ \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right| }} \ . $$

§

Дальнейшие геометрические применения определителя ЗДЕСЬ

Теги